欧式空间是什么意思
摘要：
距离空间,线性空间,赋范线性空间,Banach空间,内积空间,Hilbert空间的内在关系？4.1 联系如果在实数域或复数域上距离空间是完备的，该空间被称为完备距离空间。实数域或复... 距离空间,线性空间,赋范线性空间,Banach空间,内积空间,Hilbert空间的内在关系？
4.1 联系
如果在实数域或复数域上距离空间是完备的，该空间被称为完备距离空间。实数域或复数域上的完备线性赋范空间被称为巴拿赫空间。内积空间是特殊的线性赋范空间，而完备的内积空间被称为希尔伯特空间，其上的范数由一个内积导出。
在线性空间中赋以“范数”，然后在范数的基础上导出距离，即线性赋范空间，完备的线性赋范空间称为巴拿赫空间。范数可以看出长度，线性赋范空间相当于定义了长度的空间，所有的线性赋范空间都是距离空间。
以有限维空间来说，向量的范数相当于向量的模的长度。但是在有限维欧式空间中还有一个很重要的概念-向量的夹角，特别是两个向量的正交。内积空间是特殊的线性赋范空间，在这类空间中可以引入正交的概念以及投影的概念，从而在内积空间中建立起相应的几何学。用内积导出的范数来定义距离，Banach空间就成为了希尔伯特空间。
4.2 区别
在距离空间中通过距离的概念引入了点列的极限，但是只有距离结构、没有代数结构的空间，在应用过程中受到限制。线性赋范空间和内积空间就是距离结构与代数结构相结合的产物，较距离空间有很大的优越性。
线性赋范空间就是在线性空间中，给向量赋予范数，即规定了向量的长度，而没有给出向量的夹角。
在内积空间中，向量不仅有长度，两个向量之间还有夹角。特别是定义了正交的概念，有无正交性概念是赋范线性空间与内积空间的本质区别。任何内积空间都是线性赋范空间，但线性赋范空间未必是内积空间。
线性赋范空间X成为内积空间的充要条件是:范数‖.‖对于一切属于X的x，y，满足
‖x+y‖2+‖x-y‖2=2‖x‖2+2‖y‖2 (3-3)
上式(3-3)被称为平行四边形公式或中线公式。
二维欧式空间和三维欧式空间不同胚的证明？
***设同胚,则各去掉一个点后也同胚.但1维欧式空间去掉一个点后不再连通,而n(>1)维欧式空间去掉一个点后仍然连通.矛盾. 一般地可以证明对任意m≠n有Rm和Rn不同胚,证明思想类似：Rm去掉一个点和Rn去掉一个点后分别同伦于(m-1)维球和(n-1)维球,两者的同调群/同伦群均不同.细节可以在任何一本代数拓扑书上找到
怎么理解子空间的直和？
设V1和V2是V的两个子空间，n(V)表示V的维数，则有公式n(V1)+n(V2)=n(V)-n(V1∩V2)，如果这两个子空间之交的维数等于0，即n(V1∩V2)=0，有n(V1)+n(V2)=n(V)，就是说子空间的维数之和等于V的维数，这样的子空间之和就是直和。例如三维欧式空间V中，取过原点的一直线记为V1，再取过原点且垂直于该直线的平面记为V2，则V1和V2的和即为直和，结果就等于V。
n维欧式空间怎么表示？
n 维欧式空间可以表示为一个具有 n 个独立坐标轴的坐标系，其中每个坐标轴上的单位长度相同。我们可以用一个 n 元组（x1，x2，…，xn）来表示 n 维欧式空间中的一个点。其中，xi（i=1，2，…，n）表示该点在对应坐标轴上的坐标。
例如，当 n=2 时，我们可以说一个点位于二维欧式空间，可以用一个二维坐标系中的坐标（x，y）表示。当 n=3 时，我们可以说一个点位于三维欧式空间，可以用一个三维坐标系中的坐标（x，y，z）表示。
在数学和物理学中，n 维欧式空间经常用于研究多维函数、线性代数、微积分以及量子力学等领域。对于更高维的空间，例如 n>3，我们通常使用向量来表示点的位置，并采用张量计算坐标之间的运算。
总之，n 维欧式空间可以表示为一个具有 n 个独立坐标轴的坐标系，其中每个坐标轴上的单位长度相同。一个点在该空间中的表示为一个 n 元组，分别表示该点在各个坐标轴上的坐标。
很简单。只是因为我们处于三维空间，大于三维的度量不容易感知。
先从三维谈起，如向量{x1,x2,x3}在三维空间上必然可以分解为 {x1,x2,x3}=x1{1,0,0}+x2{0,1,0}+x3{0,0,1} 这三个分量{1,0,0}{0,1,0}{0,0,1}是线性无关的。而且是正交的。这样空间直角坐标系就有了基。这三个分量可以将任何三维向量线性表出。所以三维向量组成的几何空间其实可以用这三个基表达出任何三维向量。
当然，向量和点对应，三维向量其实也是对应三维直角坐标系的一个点。
这样对于n维向量{x1,x2,...,xn}=x1{1,0,..,0}+...+xn{0,0,...,1} 其实在n维空间上就是由n个基构成的一个线性组合。
换句话说，它也是其在n维直角坐标系中的一个点。当然，这里的直角的含义是，n个基两两正交。
按照你的要求我再说明白一点，一个n维向量其实就是一个n维欧式空间的一个点。只不过是有n个向量的。
