欧式空间和度量空间的区别-欧式空间和度量空间的区别是什么

摘要： n维欧式空间中度量是否唯一？不唯一，另外，是欧氏空间n维欧氏空间是在线性空间里定义了内积，内积这种东西非常好。有了它，可以诱导出范数，所以n维欧氏空间还是赋范线性空间，加上它的完备...

n维欧式空间中度量是否唯一？

不唯一，另外，是欧氏空间

n维欧氏空间是在线性空间里定义了内积，内积这种东西非常好。有了它，可以诱导出范数，所以n维欧氏空间还是赋范线性空间，加上它的完备性，就构成Banach空间；内积还可以诱导出度量，因此它也是完备的度量空间。

更重要的是，完备的内积空间叫Hilbert空间，这是一种最接近n维欧氏空间的无穷维空间，当然特殊一点n维欧氏空间本身就是内积空间，加上完备性就构成Hilbert空间。

Hilbert空间有好多好的性质，对于内积这种结构，有了它，就有了正交（在R²上可以理解为两个平面向量垂直，即内积为零）和投影的概念，就可以在内积空间中建立起相应的几何学。

另外，我们研究Hilbert空间上的连续线性泛函，有著名的里斯（F.Riesz）定理，研究Hilbert空间上的共轭算子、酉算子、自伴算子等等，它们都是n维欧氏空间上的矩阵的推广。

准确的说应该是n维欧氏空间上线性变换的推广，在n维欧氏空间上，线性算子实际上就是线性变换，再利用线性变换和n级方阵的同构关系，我们说矩阵也没什么毛病。